Question

1^2+2^2+3^2+……n^2=?求通项公式

试证明 a（n)=n^2+3n符合 这上面 这是听别人说的 希望您能试一试 谢谢

Answer 1

那个表示二次方
那个等于n(n+1)(2n+1)/6
证明：1^2+2^2+3^2+4^2+.......n^2=?
解：利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1,可以得到：
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,
n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1
..............................
3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1
2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代人上式得：
n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n
整理后得：
1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1^3+2^3+******+n^3=n^2(n+1)^2/4
类似的利用恒等式
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1
得
(n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1
n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1
...........
2^4-1^4=4+6+4+1

n个等式两边相加得
(n+1)^-1^4=4(1^3+2^3+ ....+n^3)+6*(1^2+2^2+ ....+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

代入1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 及1+2+3+...+n=(n+1)n/2
整理得
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=(n+1)^4-1-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+4n^3+6n^2+4n+1-1-2n^3-3n^2-n-2n^2-2n-n
4(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^4+2n^3+n^2
(1^3+2^3+ ....+n^3)=n^2(n^2+2n+1)/4
=n^2(n+1)^2/4
摘抄他人答案。。。

追问

拜托 大哥 看清楚 我问得好不好 问题补充

追答

是你的表达我看不懂。。。。有没有标点符号啊。。还有An=n^2+3n时n=1情况就不符合，总而言之，我没有看懂你问什么。。。

Answer 2

(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+....+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+......+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
或者数学归纳法..或者
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)=(n/2)(n+1)(2n+1)
(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)[(2n+1)/6

Answer 3

=第（n +1）/ 2