Question

已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围

Answer 1

显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0，即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a。显然x=1/2<1不在区间[1,e]上
当0<a<1/e时，x=1/a>e不在区间[1,e]上，此时函数单调，fmax=max{f(1),f(e)}，经验，fmax=f(1)=-2
所以0<a<1/e

追问

我怎么得的是0<a<=（2e-3）/(e²-e)

追答

刚仔细分析了一下，你的结论是非常正确的！赞！详细解答过程如下：

 

显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0，即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a

 

注意到f(1)=a*1^2-(a+2)*1-ln1=-2

 

当a=2即1/a=1/2时，f'(x)>0恒成立，则f(x)递增

而此时区间[1，e]上函数也递增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，显然a=2不符合要求

 

当a>2即0<1/a<1/2时

区间(0,1/a)上f'(x)>0，则f(x)递增

区间(1/a,1/2)上f'(x)<0，则f(x)递减

区间(1/2,+∞)上f'(x)>0，则f(x)递增

可见，f(1/a)取得极大值，f(1/2)取得极小值

而此时区间[1，e]上函数递增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，显然a>2也不符合要求

 

当0<a<2即1/a>1/2时

区间(0,1/2)上f'(x)>0，则f(x)递增

区间(1/2,1/a)上f'(x)<0，则f(x)递减

区间(1/a,+∞)上f'(x)>0，则f(x)递增

可见，f(1/2)取得极大值，f(1/a)取得极小值

• 当1/2<1/a≤1即1≤a<2时，区间[1，e]上函数递增，最大值fmax=f(e)>f(1)=-2，不符合要求

• 当1<1/a≤e即1/e≤a<1时，区间[1，e]上函数无单调，最大值fmax=max{f(1),f(e)}。若要使最大值为f(1)=-2，则有f(e)≤f(1)，即ae^2-(a+2)e+1≤-2，即a≤(2e-3)/(e^2-e)。显然1/e<(2e-3)/(e^2-e)<1，也就是说当1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e)时函数f(x)在区间[1，e]上取得最大值-2。

• 当1/a>e即0<a<1/e时，区间[1，e]上函数递减，最大值fmax=f(1)=-2，符合要求。

   

综上，符合要求的a的取值范围为0<a<1/e或1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e)，即0<a≤(2e-3)/(e^2-e)

追问

我没这么分类，就拿俩端点值作比较，就出这个答案了！因为最大值只能在端点处取到~不过你的答案很赞~

Answer 2

f '(x)=2ax-(a+2)+1/x
令f ‘(x)=0
[2ax²-(a+2)x+1]/x=0
2ax²-(a+2)x+1=0 , 分解因式得：
(ax-1)(2x-1)=0
x1=1/a, x2=1/2小根是极大值点，大根是极小值点，
因为a>0,==>1/a>0

如果1/a<1/2,函数在[1，e]上单调增，而f(1)= -2,最大值不可能为 - 2
如果1/2≤1/a<1,与上面一样的矛盾！
如果1≤1/a<e,即 1/e<a≤1 因为f(1)= -2,函数在【1，e】上先减后增，所以右端点必须是：f(e)≤-2
ae²-ae-2e+1≤-2
a≤(2e-3)/(e²-e)
又因为 1/e<a≤1
所以1/e<a≤(2e-3)/(e²-e)
如果1/a≤e,即a≤1/e 时， 函数在【1、e】上单调减，最大值为f(1)= -2 恒成立，
综合可知：
0<a≤(2e-3)/(e²-e)

Answer 3

f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x
=2a[x^2-(1/2+1/a)+1/(2a)]/x
=2a(x-1/a)(x-1/2)/x
当0<1/a≤1时，即a≥1时
∵1≤x≤e ∴x-1/a≥0,x-1/2>0
∴2a(x-1/a)(x-1/2)/x>0
f(x)在[1,e]上为增函数
f(x)max=f(e)=ae²-(a+2)e+1
由ae²-(a+2)e+1=-2
得 a(e²-e)=2e-3
a=(2e-3)/(e²-e)
(2e-3)/(e²-e)-1=(3e-3-e²)/(e²-e)<0
∴a<1与a≥1矛盾

当1<1/a<e即1/e<a<1时
x∈[1,1/a),f'(x)<0,x∈(1/a,e]，f‘(x)>0
∴f(x)的最大值在f(1)和f(e)中产生
f(1)=a-(a+2)+ln1=-2
f(e)=ae²-(a+2)e+1
则需f(e)≤f(1)=-2
∴ae²-(a+2)e+1≤-2
==>a≤(2e-3)/(e²-e)
∴1/e<a≤(2e-3)/(e²-e)

当a≥e即0<a≤1/e时，
x∈[1,e]时，f'(x)≤0,f（x）递减
∴f(x)max=f(1)=-2,符合题意

综上所述，符合条件的a的取值范围是
0<a≤(2e-3)/(e²-e)
和你算的一样

Answer 4

x的指数写清楚点。

追问

x²