Question

若直线2ax-by+2=0(a>b>0)始终平分圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的周长，求1/a+1/b的最小值

Answer 1

∵2ax-by+2=0(a>b>0)始终平分圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的周长
∴直线2ax-by+2=0必经过圆心（-1,2）
∴-2a-2b+2=0
∴a+b=1
∵(a>b>0)
∴（a-b）²＞0
∴a²+b²＞2ab
∴a²+b²+2ab＞3ab
即（a+b）²＞3ab
∴ab＜1/3
1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab＞3

追问

∴a²+b²＞2ab
∴a²+b²+2ab＞3ab?!这一步是不是有问题啊，应该是a²+b²+2ab＞4ab吧
内最小值又是什么呢？不能取等号的，我算到1/a+1/b＞4了……

追答

哦，是的，我看错了。
∴a²+b²＞2ab
∴a²+b²+2ab＞4ab
即（a+b）²＞4ab
∴ab＜1/4
1/a+1/b=(a+b)/ab=1/ab＞4

取不到最小值。条件是不是a≥b﹥0？这样可取到最小值4.