Question

一道高一函数的数学题，求大神帮忙啊.....实在做不出来了

已知关于x的方程f(x)=x^3+ax^2-2x的两个非零实根为x1,x2,试问：是否存在实数m，使得不等式m^2+tm+1≥丨x1-x2丨对任意a∈[-1,1]及t∈[-1,1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。帮帮忙啊...........
在线等啊

Answer 1

由f(x)=0，得：x^3+ax^2-2x=0，即x(x^2+ax-2)=0。所以x1+x2=-a，x1x2=-2，
所以|x1-x2|=√(x1+x2)^2-4x1x2=√(a^2+2)。因为a∈[-1,1]，当a=+-1时，√(a^2+2)取得最大值3。
因此有t∈[-1,1]时，m^2+tm+1≥3恒成立，即mt+m^2-2≥0恒成立。令g(t)=mt+m^2-2，则需：
g(-1)≥0且g(1)≥0，m^2-m-2≥0且m^2+m-2≥0，解得：m≤-1,或m≥2且m≤-2,或m≥1,取公共部分：
m≤-2,或m≥2。

追问

大部分都看懂了，但是
x1+x2=-a，x1x2=-2，是为什么啊

追答

x(x^2+ax-2)=0,x=0或x^2+ax-2=0，所以x^2+ax-2=0的两根为x1,x2，
由根与系数的关系：x1+x2=-a，x1x2=-2。

追问

但是这个不是三次的吗？？还有一个就是为什么能让f(x)=0的时候的解是x1,x2呢

追答

f(x)=x(x^2+ax-2)=0有三个根，其中一个为0，另外两个就是由x^2+ax-2=0确定的两根，由两根之积为-2，所以两根不为0，所以x1,x2是方程x^2+ax-2=0的根，当然也是f(x)=0的根。

Answer 2

非零实根为 x²+ax-2＝0的两个根，∴|x1-x2|＝√﹙a²+8﹚ a∈[-1.1] √﹙a²+8﹚最大值＝3
m^2+tm+1≥3 m²+tm-2≥0
m≥[-t+√﹙t²+8﹚]/2 或者m≤[-t-√﹙t²+8﹚]/2
对t∈[-1,1],都成立，
①F﹙t﹚＝-t+√﹙t²+8﹚ F′﹙t﹚＝[t-√﹙t²+8﹚]/√﹙t²+8﹚＜0 F是减函数
[-t+√﹙t²+8﹚]/2 的最小值在t＝1 达到。此时[-t+√﹙t²+8﹚]/2 ＝1
②E﹙t﹚＝-t-√﹙t²+8﹚ E′﹙t﹚＝[-t-√﹙t²+8﹚]/√﹙t²+8﹚＜0 E也是减函数
[-t-√﹙t²+8﹚]/2 的最大值在t＝-1 达到。此时[-t-√﹙t²+8﹚]/2 ＝-1
m的取值范围是 m∈﹙-∞,-1]∪[1,+∞﹚

Answer 3

不存在
首先我们要求得x1-x2的绝对值 f(x)=x(x^2+ax-2) 所以两个非零是根 x1-x2=a^2+8的开方 m^2+tm+1≥a^2+8的开方 要使他恒成立 那么至少m2+tm+1≥a^2+8的开方的最大值
a^2+8的开方的最大值为9 m2+tm+1≥9 恒成立 那么假设f(m)= m2+tm+1 这条抛物线的最小值为9
求导 可知当 m=-t/2 时 f(m)最小 f(-t/2)=t^2/4-t^2/2+1>9 -t^2/4>8 恒成立 t∈[-1,1] 所以不存在这样的M

Answer 4

首先给你一个思路吧,首先 用关于a表达式来表示出丨x1-x2丨,且为(4a^2+8)开根号,使得不等式m^2+tm+1≥丨x1-x2丨对任意a∈[-1,1]及t∈[-1,1]恒成立,此时根据a的取值范围,来算出(4a^2+8)开根号 的最大值为根号下12;其次再讨论一下m是否为0,易知当m=0时,明显不成立,因为1怎么可以大于根号下12呢? 所以可以讨论当m大于0时,取得t大于(-m^2-1+根号下12)除以m,让(-m^2-1+根号下12)小于-1,讨论当小于0时,也可以得出 个关于t的式子,让其大于等于1(注意不等式的符号要改变) 如果正确 一定要采纳啊,希望可以帮助到你,不懂的可以追问!!

Answer 5

写题对高一来说已经超纲了，这要到高二下才能够解决，超纲题高一的同学可以不用做了。

追问

不行啊...我们计算机社给的作业...必须做出来啊....

Answer 6

好难

追问

恩，想了半个小时没想出来，求大神啊..