Question

判断函数f﹙x﹚＝x／x²﹣1在区间﹙﹣1,1﹚上的单调性，并给出证明

Answer 1

解
f(x)=x/(x^2-1)定义域是 x∈(负无穷，-1）U（-1,1）U（1，正无穷）。
设x1、x2是该定义域内的两个数且x1<x2
f(x1)-f(x2)
=[x1/(x1^2-1)]-[x2/(x2^2-1)]
=[(x2-x1)(x1x2+1)]/[(x1^2-1)(x2^2-1)]
1、若x1<x2<-1，
则 x2-x1>0，x1x2+1<0，x1^2-1>0，x2^2-1>0，
f(x1)-f(x2)<0，f(x1)<f(x2)
函数在（负无穷，-1）上单调递增。
2、若-1<x1<x2<1
则 x2-x1>0，x1x2+1>0，x1^2-1<0，x2^2-1<0，
f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)
函数在（-1,1）上单调递减。
3、若1<x1<x2，
则 x2-x1>0，x1x2+1>0，x1^2-1>0，x2^2-1>0，
f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)
函数在（1，正无穷）上单调递减。

综上，函数f（x)=x/(x^2-1)的单调性是：
在（负无穷，-1）上单调递增，
在（-1,1）上单调递减，
在（1，正无穷）上单调递减。