Question

如图,在等边三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点。

如图,在等边三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点。∠AMN=60°，求证：AM=MN

Answer 1

证明：在AB上取点D，使BD＝BM，连接DM
∵等边△ABC
∴∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60，AB＝AC＝BC
∴∠ACP＝180-∠ACB＝120
∵CN平分∠ACP
∴∠NCP＝∠ACP/2＝60
∴∠BCN＝180-∠NCP＝120
∵BD＝BM
∴等边△BDM
∴∠BDM＝∠BMD＝∠B＝60
∴∠BAM+∠AMD＝∠BDM＝60, ∠ADM＝180-∠BDM＝120
∴∠ADM＝∠BCN
∵∠AMN＝60
∴∠CMN+∠AMD＝180-∠BMD-∠AMN＝60
∴∠CMN＝∠BAM
∵CM＝BC-BM，AD＝AB-BD
∴CM＝AD
∴△CMN≌△DAM （ASA）
∴AM＝MN