Question

把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F

（2008•威海）（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．求证：AF⊥BE．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．
拜托了，会得来，坐等。

Answer 1

俊狼猎英团队为您解答

⑴∵ΔCDE与ΔABC都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，CE=CD，CB=CA，
∴ΔBCE≌ΔACD(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BCE+∠BEC=90°，
∴∠CAD+∠BEC=90°，
∴∠EFA=90°，
∴AF⊥BE。
⑵∵ΔCDE与ΔABC都是含30°角的直角三角形，
∴ΔDCE∽ΔACB，∴CD/CA=CE/CB，
又∠DCE=∠ACB=90°，∴ΔBCE∽ΔACD，
∴∠EBC=∠CAD，
∵∠EBC+∠BEC=90°，∴∠BEC+∠CAD=90°，
∴∠EFA=90°，即AF⊥BE。

Answer 2

(1)在直角三角形ADC和BEC中，DC=EC(小45°三角板的直角边)，AC=BC(大45°三角板的直角边)，所以直角三角形ADC和直角三角形BEC全等，所以∠DAC=∠EBC①；因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠DAC+BEC=90°，即∠FAE+∠FEA=90°，所以∠AFE=180°-(∠FAE+∠FEA)=180°-90°=90°，所以AF⊥FE，即AF⊥BE。 (2)在直角三角形ADC和BEC中，DC/EC=1/√3，AC/BC=1/√3，所以DC/EC=AC/BC，所以直角三角形ADC和直角三角形BEC相似，所以∠DAC=∠EBC，因为∠EBC+∠BEC=90°，所以∠DAC+∠BEC=90°，即∠FAE+∠FEA=90°，所以∠AFE=180°-(∠FAE+∠FEA)=180°-90°=90°，即AF⊥FE，即AF⊥BE。

Answer 3

⑴∵ΔCDE与ΔABC都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，CE=CD，CB=CA，
∴ΔBCE≌ΔACD(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠CAD+∠BEC=90°，
∴∠EFA=90°，
∴AF⊥BE。

Answer 4

证明：AF⊥BE，理由如下：
由题意可知∠DEC=∠EDC=45°，∠CBA=∠CAB=45°，
∴EC=DC，BC=AC，又∠DCE=∠DCA=90°，
∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形，
∴EC=DC，BC=AC，∠ECD=∠ACB=90°．
在△BEC和△ADC中
EC=DC，∠ECB=∠DCA，BC=AC，
∴△BEC≌△ADC（SAS）．
∴∠EBC=∠DAC．
∵∠DAC+∠CDA=90°，∠FDB=∠CDA，
∴∠EBC+∠FDB=90°．
∴∠BFD=90°，即AF⊥BE．