Question

在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式； (2)若点M为第三象限

内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S。求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值。

Answer 1

假设B点坐标为：B(0，-4)。
解（1）设抛物线为：y=a(x-2)(x+4)，将B(0,-4)代入，得:
-4=a(0-2)(0+4)
解得：a=1/2
代入抛物线，整理得：y=(1/2)x²+x-4,(x属于R)
解（2）设M点为M(m,n)，则，n=(1/2)m²+m-4
AB直线方程为：-x/4-y/4=1，即x+y+4=0
M点到AB的距离：
H=︱(am+bn+c)/√(a²+b²)︱=︱[m+(1/2)m²+m-4+4]/√(1²+1²)︱=(√2/4)︱(m²+4m)︱
︱AB︱=√(OA²+OB²)=√(4²+4²)=4√2
S=(1/2)︱AB·H︱=︱(1/2)(4√2)(√2/4)(m²+m)︱=︱m²+4m︱
1，画出，S1=m²+4m，
a=1＞0，且与x轴交点为A(-4，0)，O(0，0)两点
对称轴x=-b/(2a)=-4/2=-2
S1最小=(4ac-b²)/(4a)=(0-4²)/2=-8
2，画出函数S=︱m²+4m︱
显然在 -4 ≤ m ≤ 0时，S和=-S1
S最大=-(-8)=8

Answer 2

设抛物线解析式为
y=a(x+4)(x-2)
经过（0，-4）
-4=-8a a=1/2
y=(x^2/2)+x-4
过M做MN⊥x轴，垂足为N
点M的横坐标为m，则纵坐标为m^2/2+m-4
四边形AMBO的面积SAMBO=SAMN+SMNOB
SAMN=1/2*AN*MN=1/2*(m+4)*|m^2/2+m-4|
SSMNOB=(4+|m^2/2+m-4|)*(-m)/2
SAMB=SAMBO-SABO
=8-m^2-4m
=-(m+2)^2+12
m=-2 面积S有最大值12