Question

已知函数f(x)=(x2+ax+b)/x为定义域为{xlx∈R,x≠0}上的奇函数

(1)求实数a的值(2)当b＞0，且x＞0时，证明f(x)＞f(b)（3）若f（1）=2，求函数f(x)的值域。

Answer 1

函数f(x)=(x²＋ax＋b)/(x)是奇函数，则：a=0
此时，f(x)=(x²＋b)/(x)，因f(1)=2，则：b=1，则：
f(x)=(x²＋1)/(x)

先证明：f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，则当x>0时，f(x)的值域是[2，＋∞)
考虑到函数是奇函数，则这个函数的值域是：(－∞，－2]∪[2，＋∞)

追问

为什么函数f(x)=(x²＋ax＋b)/(x)是奇函数，则：a=0

追答

f(x)=(x²＋ax＋b)/(x)
f(－x)=(x²－ax＋b)/(－x)
因为：f(－x)=－f(x)，则：
(x²＋ax＋b)/(x)=(x²－ax＋b)/(x)
x²＋ax＋b=x²－ax＋b
ax=－ax对一切实数恒成立，则：a=0

Answer 2

1∵fx是奇函数x∈R，所以f（1）=-f（-1）即1+a+b=1-a+b得a=0
2 ∵a=0 ∴fx=(x2+b)/x f（x）-f（b）=（x平方＋b-bx-x）/x =（x平方-（b+1）x+b）/x
∵△=(b+1）平方-4b=（b-1）平方≥0所以（x平方-（b+1）x+b）/x≥0即f（x）-f（b大于等于0
所以f(x)≥f(b) 当且仅当x=1 b=1时fx=fb
3∵f1=2 所以b=1 fx=（x平方+1）/x=x＋1/x 如果学了不等式 就当x＞0时x＋1/x≥2
当x＜0时 -x-1/x≥2 ∴x＋1/x≤-2 故值域为负无穷到-2并上2到正无穷 2和-2可取
如果没学，就由对号函数图象得出值域

Answer 3

h