Question

已知关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0,a＞0，b＞0.

（1）若方程有实数根，试确定a，b间的大小关系；
（2）若a:b=2:√3,且2x1-x2=2，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数y=x²+2ax+b²的图像与x轴交点为A、C（点A在C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D。若点P（x，y）是平行四边形ABCD边上的一点，试求3x-y的最大值。

Answer 1

1、△=（2a)²-4×1×b²
=4a²-4b²≥0
a²≥b²
∵a＞0，b＞0.
∴a≥b
2、a:b=2:√3即b=√3/2a
代入方程：x²+2ax+(√3/2a)²=0
4x²+8ax+3a²=0
(2x+a)(2x+3a)=0
(1)x1=-1/2a，x2=-3/2a
∴2x1-x2=2
2(-1/2a)-(-3/2a)=2
-a+3/2a=2
1/2a=2
a=4
∴b=√3/2×4=2√3
(2)或x1=-3/2a，x2=-1/2a
∴2x1-x2=2
2(-3/2a)-(-1/2a)=2
-3a+a=2
-2a=2
a=-1
∴b=√3/2a=-√3/2
（3）∵a＞0，b＞0.
∴a、b取正数
∴a=4、b=2√3
3、函数为：y=x²+8x+12
(1)图像与x轴交点为A、C（点A在C的左侧），
∴x²+8x+12=0
(x+6)(x+2)=0
x=-6，x=-2
∴A坐标（-6，0）C坐标（-2，0）
(2)与y轴的交点为B，
∴y=12
∴B坐标（0，12）
（3）顶点为D
x=-8/2=-4
y=(4×1×12-8²)/(4×1)=-4
∴D坐标（-4，-4）
ABCD不是平行四边形，是梯形？

Answer 2

1）若方程有实数根，（2a)²-4*b²=4(a²-b²)≥0，a²≥b²，|a|≥|b|,a≥b
2)由根与系数的关系得：x1+x2=-2a,x1*x2=b²,且2x1-x2=2,a:b=2:√3，
联立方程组，解得：a1=(56+4√118)/39,b1=2√3*(14+√354)/39,
a2=(56-4√118)/39,b2=2√3*(14-√354)/39,(a2,b2＜0,舍去）
3）太麻烦了