Question

设偶函数f(x)对任意x∈R,都有，都有f(x+3)=-1/f(x),且当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x,f(107.5)=?

问：为什么f(107.5)=f(5.5)?

Answer 1

f(x+3)=-1/f(x)
f(x+6)=-1/f(x+3)
所以f(x+6)=f(x)
所以f(107.5)=f(101.5)=f(95.5)=f(89.5)=……=f(5.5)
因为f(x)是偶函数，所以f(107.5)=f(5.5)=f(-5.5)
因为当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x，所以f(-2.5)=-1/f(-5.5)=-10
所以f(107.5)=f(-5.5)=0.1

Answer 2

f(x+3)=-1/f(x),
则f(x+6)=f((x+3)+3)= -1/ f(x+3)= f(x).
所以函数周期为6
f(107.5)=f(17×6+5.5)= f(5.5)
= f(-0.5)
= -1/f(-0.5+3)=-1/f(2.5)
=-1/f(-2.5)

=-1/(4*(-2.5))
=1/10

Answer 3

因为f(x+6)=f[(x+3)+3)=-1/f(x+3)=-1/[-1/f(x)]=f(x)，
所以6是f(x)的一个周期，107.5=17*6+5.5, f(107.5)=f(5.5),
又f(5.5)=f(2.5+3)=-1/f(2.5)=-1/f(-2.5)=-1/-10=1/10

Answer 4

f(x+3)=-1/f(x）
f(x+6)=f[(x+3)+3]=-1/f(x+3)=f(x)
所以T=6
当x∈[-3,-2]时，f(x)=4x
所以f(107.5)=f(17×6+5.5)=f(5.5）

Answer 5

f(x+3)=-1/f(x)
f(x+6)=f[(x+3)+3]=-1/f(x+3)=f(x)
∴f(x)是周期函数，周期为6
∴f(107.5)=f(17×6+5.5)=f(5.5）