Question

已知双曲线关于原点对称，它的焦点在坐标轴上，焦距为10，且此双曲线过点（3,4根号2）求它的标准方程

要详细解答过程

Answer 1

如果焦点在y轴上，设方程为
y²/a²-x²/b²=1
且有焦距为10，即a²+b²=25

点(3,4√2),在双曲线上，则有32/a²-9/b²=1
与a²+b²=25联立解得

a²=16，b²=9
或者a²=50，b²=-25 (舍去）

则双曲线方程为y²/16-x²/9=1

如果焦点在x轴上，设方程为x²/a²-y²/b²=1

(3,4√2),在双曲线上，则有9/a^2-32/b^2=1

联立方程组解之得
a²= 33-12*√6 b²=-8+12*√6
或者 a²= 33+12*√6 b²=-8-12*√6 （舍去），

所以方程为x²/(33-12*√6)-y²/(-8+12*√6)=1

所以双曲线的方程为则双曲线方程为y²/16-x²/9=1
或者x²/(33-12*√6)-y²/(-8+12*√6)=1

Answer 2

由于已知双曲线关于原点对称,则可以知道双曲线方程是个标准方程,这里还要分2种形式的方程,焦点在X轴和焦点在Y轴上的,
设方程为X^2/a^2-y^2/b^2=1
由焦距为10可以得到c=5则a^2+b^2=25,将双曲线过点（3,4根号2),代入方程解除a^2,b^2即可,
同理设方程又为Y^2/a^2-X^2/b^2=1,又可得到一组A,B