Question

高一数学函数问题

我有一个题 我自己会做 但是不明白为什么可以这么做
如题：f（x）满足f（x）+2f（1/x）=x 求f（x）
这道题用x替换1/x 然后联立 就可以做出来了
我的问题是 为什么你要敢用x来替换1/x 这样做还成立吗 我不明白为什么替换后依然成立 里面的意义是什么？ 求解！

Answer 1

令x=a吧
那就有f（a）+2f（1/a）=a
你还可以令x=2a
就有f（2a）+2f（1/2a）=2a但这对解题没帮助
只有在令x=1/a才能解题啊

追问

不是 你f（x）的自变量 是x 但是你f（1/x）自变量是1/x 这能成立吗？

追答

你应该做过类似下边的题吧
已知f(x)+f(x+2）=3，f(0)=0,叫你求f(2000)吧
也同一啊
还不是一直换
用x+2换f(x)+f(x+2）=3中的x,
得f(x+2)+f(x+2+2）=3
抽象函数换自变量是没关系的，只要是在定义域内

追问

啥意思 不明白 你这样一直换也解不出来f（2000） 呀 他一直有个未知量X的

追答

解得出，但好像扯远了，嘻嘻
f(2000)=3-f(1998)=3-(3-f(1996))=f(1996)=f(1992)=....=f(0)=0
还是扯远了，临时想的垃圾题，不要在意

追问

求你QQ 先选你吧

追答

294986125

Answer 2

首先 应该是用1/x替换x，得出一个方程f（1/x）+2f（x）=1/x
然后 解释为什么可以这样联立方程组
因为这是一个函数 y= f（x），其中的x可以理解为为大X，只是一个代号，可以是1、4、5、x、1/x、x²等等任何东西，，，假如f（x）=2x+1 那么f（x²）=2（x²）+1 ，就是把f后面跟着的括号里的东西看做一个整体----大X
既然x 满足方程f（x）+2f（1/x）=x
因此 1/x也满足方程f（x）+2f（1/x）=x
联立就可以出现两个方程和两个未知量f（x）、f（1/x），就可以解方程了

追问

1/x也满足 这个函数 那么你怎么知道f(1/x)+2f（x）=1/x呢 难道只是因为有这个式子前提吗？
f（x）+2f（1/x）=x

Answer 3

数学很多时候不要去追求为什么是这样，即使在大学里面很少能让你明白这一点，个人感觉只有到了硕士才能去了解为什么。很多解题方法解题技巧是前辈们的经验总结，这样解题能做出来并且符合题意方法简单，可能他们也不知道为什么（当然很大程度是知道的）。学数学先学会一些方法再去研究其意义（以上纯属个人看法）

Answer 4

当然成立，x可以用任意的数来替换，使用1/x来替换x是为了消去f(1/x)而最终得到f(x)的表达式

追问

不是 你f（x）的自变量 是x 但是你f（1/x）自变量是1/x 这能成立吗？

追答

自变量都是x

追问

不是吧 自变量不是x 定义域是x 但是自变量就是括号里面的。。。。

追答

你不用太纠结，在这个f(x)+2f(1/x)=x中变量最有一个，那就是x，其他的都不是自变量，他并不会因为存在在f(1/x)这里面就会使1/x中的x与f(x)中的x不相等

Answer 5

其实这些题就是要假设！因为X是一个未知数，而1/x也是一个未知数，他们只是一个符号而已！所以这样设是没错的！你记住就行了！通常只会这样变！

Answer 6

因为之前的式子已经成了，限制了一些条件，对于下一个建立的式子没有影响了

追问

不是 你f（x）的自变量 是x 但是你f（1/x）自变量是1/x 这能成立吗？