Question

函数f(x)={||1/x|-2|(x≠0),1(x=0)},若关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0有9个不同的实数解，求a取值范围

则实数a的取值范围是：
A(0,2) B(-2,0) C(-3,-2)U(-2,-1) D(-3,-1)
应选哪一个？为什么？

Answer 1

• 作出f(x)图象，从图象判断，关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0的根就是：函数f(x)的图象，与关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的解形成的水平直线的交点

• 根据图形特征知，有一水平直线必为y=1（这样产生5个交点），也就是说f(x)=1必是关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的一个解

• 若令关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的另一个解为f(x)=m，则有[f(x)-1][f(x)-m]=f(x)^2+af(x)+b

• 用待定系数法得m=-a-1。届就是说y=-a-1这条水平线与f(x)只能有4个交点

• 依据图象知0<-a-1<1或1<-a-1<2，即得-2<a<-1或-3<a<-2

   

• 所以正确选项为C

追问

第二步指的是哪个图形？

追答

你画的嵊我没看明白。f(x)是一个双重绝对值的分段函数，其基准图象是y=1/x，要做两次翻转、一次平移，大致图象如下：

追问

答案是对的，但是中间地程没看明白
第二步中为什么直线y=1与f(x)有5个交点，f(x)=1就必是关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的一个解
第四步的4个交点有什么意义？
m为什么能确定取值范围0<m<2 ？
前图是|1/x|、||1/x|-2|、以及（a=-1.5,b=0.3）和（a=-2.5,b=1.3）时f(x)^2+af(x)+b=0在正区间的准确图像，点击能看到清晰一些的

追答

从图形上看，水平直线与f(x)图象的交点数量与直线的位置有关。任意一条水平直线与图象的交点情况有：0个（y=2）、5个（y=1）、4个（0<y<1或1<y<2）。如果关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0只有一个解，那么最多只能得到5个交点。所以必须有两个不同的解，也就是会有两条不同的水平直线与f(x)相交。而0、2、4都是偶数，两条这样的直线不可能产生奇数个交点，由此可知必有一条直线与图象产生5个交点，关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的一个根必为f(x)=1。那么剩下的4个交点必须是由0<y<1或1<y<2的水平直线来产生，也就是说关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0的另一个根m必须满足0<m<1或1<m<2（这里要注意，m≠1，否则与前一个根相等）。
你画的图我看明白了，不过还有x<0那半支没画出来，事实上是存在的。