一道用中值定理证明的证明题。
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在ξ,η∈(a,b)使e^(η-ξ)[f(η)+f'(η)]=1...
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=1,证明：存在ξ,η∈(a,b)使e^(η-ξ )[f(η )+f '(η )]=1
展开
1个回答
展开全部
首先, 由g(x) = e^x在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 根据Lagrange中值定理,
存在ξ ∈ (a,b), 使e^ξ = g'(ξ) = (g(b)-g(a))/(b-a) = (e^b-e^a)/(b-a).
其次, 由h(x) = e^x·f(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 根据Lagrange中值定理,
存在η ∈ (a,b), 使e^η(f(η)+f'(η)) = h'(η) = ((h(b)-h(a))/(b-a) = (e^b-e^a)/(b-a) (f(a) = f(b) = 1).
于是e^η(f(η)+f'(η)) = e^ξ, 即有e^(η-ξ)(f(η)+f'(η)) = 1.
存在ξ ∈ (a,b), 使e^ξ = g'(ξ) = (g(b)-g(a))/(b-a) = (e^b-e^a)/(b-a).
其次, 由h(x) = e^x·f(x)在[a,b]连续, 在(a,b)可导, 根据Lagrange中值定理,
存在η ∈ (a,b), 使e^η(f(η)+f'(η)) = h'(η) = ((h(b)-h(a))/(b-a) = (e^b-e^a)/(b-a) (f(a) = f(b) = 1).
于是e^η(f(η)+f'(η)) = e^ξ, 即有e^(η-ξ)(f(η)+f'(η)) = 1.
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
作为上海华然企业咨询有限公司的一员，我们深知大模型测试对于企业数字化转型与智能决策的重要性。在应对此类测试时，我们注重数据的精准性、算法的先进性及模型的适用性，确保大模型能够精准捕捉市场动态，高效分析企业数据，为管理层提供科学、前瞻的决策支...
点击进入详情页
本回答由上海华然企业咨询提供
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
