关于曲线积分路径无关的问题

∫[(x-1)dx+ydy]/[(x-1)^2+y^2]在区域D={(x,y)│(x,y)≠(1,0)}内与路径无关这是李永乐400题里的一道选择题的一个选项，答案上说是... ∫[(x-1)dx+ydy]/[(x-1)^2+y^2]在区域D={(x,y)│(x,y)≠(1,0)}内与路径无关
这是李永乐400题里的一道选择题的一个选项，答案上说是对的
但是根据路径无关的条件，要满足区域单连通和函数偏导连续这2个条件，但是D显然不是单连通的，所以为不大明白，望详细解答，谢谢展开

2个回答

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丘冷萱Ad
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满足区域单连通和函数偏导连续这2个条件，再满足∂P/∂y=∂Q/∂x，则积分与路径无关，这是一个充分条件，不是必要条件。也就是说，如果以上条件不满足，在某些特殊情况下，也可能积分与路径无关，本题就是一种这样的情况。

你可以自己算一下这个积分与路径是无关的。（这个积分任一闭曲线上的积分为0）

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

追问

请问如果不是单连通区域的话该怎么确定路径无关性？格林公式应该不可以直接用吧，好像会有奇点什么的，可以具体说下吗？

追答

如果你用的是同济的教材的话，书中有道类似的例题，处理这种有奇点的情况，我简单给你说一下，你应该能做出来，要是做不出来再追问。
 
要用多连通区域的格林公式，在大曲线面画一个小的闭曲线，两曲线之间的部分是无奇点的，这样就可以用格林公式了，通过格林公式可以证明两条闭曲线的积分是一样的。现在我们只要计算小曲线上的积分就行了，小曲线由于是我们自己画的，我们可以画简单些，为了方便做这个题，你想想什么曲线最合适？通过计算，这道题小曲线的积分刚好为0，因此大曲线的积分也为0.
 
另：楼下说的因为是全微分这是不对的，全微分也要满足那两个条件才能说明与路径无关。本题的积分与路径无关完全是一个巧合。