Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合

），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；（2）当∠PCD=30°时，求AE的长．（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：（1）△CDP∽△PAE．（1分）
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，（2分）
∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分）
∴∠PCD=∠EPA，（5分）
∴△CDP∽△PAE．（6分）

（2）在Rt△PCD中，由tan∠PCD=
PD
CD
，（7分）
∴PD＝CD•tan∠PCD＝6•tan30°＝6×
3

3
＝2
3
，（8分）
∴AP＝AD−PD＝11−2
3
，（9分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：
PD
AE
＝
CD
AP
，
∴AE＝
PD•AP
CD
＝
23
×(11−2
3
)

6
＝
11
3
3
−2，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°，
∴AE＝AP•tan∠EAP＝(11−2
3)
•tan30°＝
11
3
3
−2．（10分）