Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（1/3）=1

（1）求f（1） f(1/9) f(9)的值

(2）如果f（x）+f（2-x）小于2,求X的取值范围
(2)问题错了 应该是如果f（x）+f（2/3-x）小于等于2,求X的取值范围

Answer 1

(1)f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)=1 得f（1）=0
f（1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2 得f(1/9)=2
f(9*1/9)=f(9)+f(1/9)=0 得 f(9)=-2
(2) f(x)+f(2/3-x)=f(x(2/3-x))=f(2/3x-x^2)小于等于2
又f（x）在（0，正无穷）单调递减，且f（1/9)=2
所以只要2/3x-x^2大于等于1/9就可以了
现在解方程
2/3x-x^2=1/9
求得x有且只有一个解=1/3
我们看到x^2的系数为-2，函数开后向下
最大值为x=1/3时，y=1/9
所以该哈数恒小于等于1/9
所以x的取值为x=1/3
方法就是这样了
自己计算一遍吧
谢谢

Answer 2

f（xy）=f（x）+f（y）中令x=y=1,就得f(1)=0
f(1/9)=f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
f（9）+f(1/9)=f(1)解得f(9)=-2

(2)f（x）+f（2/3-x）x≤2=f(1/9)
就是f[(x(2/3-x)]≤f(1/9)
f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数
则需要x(2/3-x)≤1/9
解得x≠1/3 ①
还要满足f（x）和f（2-x）中x和2/3-x都在定义域（0，+∞)内
即 0<x<2 /3 ②
①②公共部分为
0<x<1/3,1/3<x<2/3

Answer 3

(1) ∵函数y=f（x）是定义在（0，+∞)上的减函数，并且满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴f(1) = f(1*1) = f(1) + f(1),

∴f(1) = 0,

同理 f(1/9) = f(1/3*1/3) = f(1/3)+f(1/3) = 2,
f(9*1/9) = f(9) + f(1/9) = f(1) = 0;
∴ f(9) = -f(1/9) = -2
(2) f(x) + f(2-x) < 2, 即 f(x(2-x)) < 2,
由上面结果知，f(1/9) = 2,
∴ f(x(2-x)) < f(1/9),
∵函数y=f（x）是减函数,
∴ x(2-x) > 1/9
即 x^2 -2x +1/9 < 0
∴1-(2√2)/3 < x < 1+(2√2)/3
又由f(x) 的定义域为(0，+∞),有
x > 0 且 2-x > 0
∴1-(2√2)/3 < x < 1+(2√2)/3
即X的取值范围为(1-(2√2)/3,1+(2√2)/3).
步骤是这样，过程计算转换有可能出错，请仔细检验。

Answer 4

(1), f(1*1/3)=f(1/3)=f(1)+f(1/3), f(1)=0, f(1/9)=f(1/3*1/3)=2f(1/3)=2, f(1)=f(9*1/9)=(f(9)+f(1/9), f(9)=-f(1/9)=-2,
(2), 因为y=f(x)单调递减，f(x)+f(2/3-x)=f(x*(2/3-x))≤2, 则x*(2/3-x)≥1/9, 求得x=1/3,

Answer 5

1. 令x=y=1得f(1)=f(1)+f(1)得f(1)=0;f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2;f(1)=f(9)+f(1/9)=0

   所以f(9)=-2

2. 由f(x)+f(2/3-x)≤2得f(x(2/3-x))≤f(1/9)得x＞0且2/3-x＞0且x(2/3-x)≥1/9由以上三个不等式解得

   0<x<2/3