Question

已知二次函数的f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1,3），方程f（x）+6a=0有两个

题目：相等的实数根，求f（x）的解析式

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)> -2x的解集为(1,3)
即f(x)= -2x的解为x=1和x=3，且a<0
那么
ax^2+bx+c= -2x
即ax^2+(b+2)x+c=0的解为x=1和x=3
所以
-(b+2)/a=4，c/a=3
而f(x)+6a=0两个根相等，
即ax^2+bx+6a+c=0判别式为0
所以b^2 -4a(6a+c)=0
代入b= -4a-2，c=3a
于是
(-4a-2)^2 -4a*(6a+3a)=0，得到
(-4a-2-6a)*(-4a-2+6a)=0
解得
a= -1/5或1
而a<0，所以只能a= -1/5
那么b= -6/5，c= -3/5
所以
f(x)= -x²/5 -6x/5 -3/5

Answer 2

设 f(x) = ax^2+bx+c ，
（1）由 f(x) > -2x 得 ax^2+(b+2)x+c > 0 ，它的解集是（1，3），因此 a < 0 ，
且 ax^2+(b+2)x+c = a(x-1)(x-3) = ax^2 -4ax +3a ，
因此得 b+2 = -4a ，c = 3a ；
（2）f(x)+6a = ax^2+bx+(c+6a) =0 有两个相等实根，因此判别式为 0 ，
即 b^2 - 4a(c+6a) = 0 ，
由以上三个等式，可解得 a=1 ，b = -6 ，c = 3（舍去，因为 a>0）
或 a = -1/5 ，b = -6/5 ，c = -3/5 ，
因此 f(x) = -1/5*(x^2+6x+3) 。