Question

数列{an}中，a1=8，a4=2且满足an+2=2an+1－an，(n∈N*)。 (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设Sn=｜a1｜+｜a2｜+...+｜an｜，求Sn；
(3)设bn=(n∈N*)，Tn=b1+b2+......+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N*均有Tn＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：
(1)
a4=2a3-a2
a3=2a2-a1
a4=2(2a2-a1)-a2=3a2-2a1=3a2-2×8=3a2-16=2
3a2=18
a2=6
a2-a1=6-8=-2
a3=2a2-a1=2×6-8=12-8=4
(a3-a2)-(a2-a1)=(4-6)-(6-8)=0
a(n+2)=2a(n+1)-an
a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-an=...=a2-a1=-2，为定值。
数列{an}是以8为首项，-2为公差的等差数列。
an=8-2(n-1)=10-2n
数列{an}的通项公式为an=10-2n
(2)
令10-2n≥0，解得n≤5，即数列前5项非负，从第6项开始，以后各项均<0。
n≤5时，Sn=a1+a2+...+an=10n -2(1+2+...+n)=10n -2n(n+1)/2=9n -n²
n≥6时，
Sn=a1+a2+...+a5-a6-a7-...-an
=-(a1+a2+...+an) +2(a1+a2+...+a5)
=-(9n-n²)+2×(9×5 -5²)
=n²-9n+40
(3)
题目写漏了，bn的表达式没写。

Answer 2

a(n+2)-a(n+1)=a(n+1)-a(n),
{a(n+1)-a(n)}是首项为a(2)-a(1)=-6的常数数列.
a(n+1)-a(n)=-6,
{a(n)}是首项为8,公差为-6的等差数列.
a(n)=8-6(n-1),

a(n)=8-6(n-1)=14-6n,
n<=2 时, a(n)>0,
n>=3时, a(n)<0.
n<=2时, s(n)=8n-3n(n-1).
n>=3时, s(n)=a(1)+a(2)-a(3)-...-a(n)=-a(1)-a(2)-...-a(n)+2s(2)=-8n+3n(n-1)+2[8*2-3*2]
=3n(n-1)-8n + 20

...b(n)?

Answer 3

(1)an+2=2an+1-an，
则an+2-an+1=an+1-an=……= a2-a1=const，所以，{an}为等差数列
a4- a1=3b=-6,所以b=-2.
an= a1+(n-1)b=8-2(n-1)=10-2n
Sn=｜a1｜+｜a2｜+...+｜an｜
an=10-2n,
(2)所以，当n<=5时，an>=0，则｜an｜=an;
当n>5时,an<0(n>5),所以｜an｜=- an
所以Sn=｜a1｜+｜a2｜+...+｜an｜= (a1+ a2+ a3+ a4+ a5)-( a6+……+ an)
=8+6+4+2+0+(2*6-10)+(2*7-10)+……+(2*n-10)
=20+(2*1-10)+(2*2-10)+……+(2* (n -5)-10)
=20+2((n-4)(n-5)/2) =n2-9n+40
即Sn= n2-9n+40