Question

如图，AO为等边三角形ABC的高，D为AO上一个动点（不与A重合），以CD为边向下作等边△CDE，连接ED、EB

如图，AO为等边三角形ABC的高，D为AO上一个动点（不与A重合），以CD为边向下作等边△CDE，连接ED、EB。
（1）求证：AB⊥BE
（2）当OD=1，BE=2时，求O、E两点之间的距离

Answer 1

1、证明：
∵等边△ABC、等边△CDE
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝60
∵AO⊥BC
∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAC/2＝30
∵∠ACD＝∠ACB-∠BCD，∠BCE＝∠DCE-∠BCD
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE （SAS）
∴∠CBE＝∠CAO＝30
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90
∴AB⊥BE
2、解：连接OE
∵△ACD≌△BCE
∴AD＝BE＝2
∴AO＝AD+OD＝3
∴CO＝AO/√3＝3/√3＝√3
∴CO＝√3CD
∴∠DCO＝30
∴∠ECO＝∠DCE-∠DCO＝30
∴∠DCO＝∠ECO
∵CD＝CE，CO＝CO
∴△ECO≌△DCO （SAS）
∴EO＝CD＝1
∴O、E之间有距离为1

Answer 2

(1)思路：证明ΔADC≌ΔBEC，得∠EBC=∠DAC=30，∴∠ABE=60+30=90
（2）AD=BE=2，AO=3，OC=√3,CD=AD=2,∠OCD=∠DCA=∠OAC=30,∴∠CDE=∠CDO=60,
∴E在DO的延长线上,∴OE=OD=1