Question

点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（9，0），以AB为直径作圆O’交Y轴的负半轴于点C --+

（1）求过A、B、C的抛物线解析式。
（2）在（1）中的抛物线与圆O’还有交点吗？若有，求坐标；若无，说明理由。
（3）在（1）中的抛物线顶点在圆上吗？若在，说明理由；若无，说出应怎样平移才可使其在圆上

Answer 1

(1)由题得
d=√（（-1-9）²+0）=10
r=5
且圆心为O‘（（-1+9）/2,0）→O‘（4,0）
则可得圆的标准方程为
（x-4）²+y²=5²
取y=0则（x-4）²=25
x1=9 x2=-1
∵c点在y负半轴上
∴c（0，-1）
由A,B,C三点坐标可知抛物线为开口朝上的抛物线
故设y=ax²+bx+c
A，B，C三点代入得
a=1/9 b=-8/9 c=-1
故抛物线为y=1/9x²-8/9x-1
(2)根据对称性可得还有一个交点D
此交点与C关于抛物线的对称轴对称
则抛物线对称轴为
x=4
则将C对称可得第四个交点D（8，-1）
（3）由（2）得抛物线与圆有4个交点，但没有顶点
故抛物线顶点不在圆上
其顶点坐标为（4，-25/9）
将x=4代入圆的方程
的y=±5
故将抛物线向上平移25/9+5=70/9个单位
或
向下平移5-25/9=20/9个单位可以始顶点在圆上

追问

圆的标准方程没学过

追答

解法1
(1)由题得
d=√（（-1-9）²+0）=10
r=5
且圆心为O‘（（-1+9）/2,0）→O‘（4,0）
则可得圆的标准方程为
（x-4）²+y²=5²
取x=0则（-4）²+y²=25
y1=3 y2=-3
∵c点在y负半轴上
∴c（0，-3）
由A,B,C三点坐标可知抛物线为开口朝上的抛物线
故设y=ax²+bx+c
A，B，C三点代入得
a=1/3 b=-24/9 c=-3
故抛物线为y=1/3x²-24/9x-3
(2)根据对称性可得还有一个交点D
此交点与C关于抛物线的对称轴对称
则抛物线对称轴为
x=4
则将C对称可得第四个交点D（8，-3）
（3）由（2）得抛物线与圆有4个交点，但没有顶点

故抛物线顶点不在圆上
其顶点坐标为（4，-25/3）
将x=4代入圆的方程

的y=±5
故将抛物线向上平移25/3-5=10/3个单位
或
向上平移5+25/3=40/3个单位可以使顶点在圆上

解法2
没学过圆的方程的话这样做
(1)由题得
d=√（（-1-9）²+0）=10
r=5
且圆心为O‘（（-1+9）/2,0）→O‘（4,0）
设C（0，Yc）
由两点之间距离公式得
√（4²+Yc²）=r
则16+Yc²=r²
16+Yc²=25
解得Yc=±3
∴c（0，-3）
由A,B,C三点坐标可知抛物线为开口朝上的抛物线
故设y=ax²+bx+c
A，B，C三点代入得
a=1/3 b=-24/9 c=-3
故抛物线为y=1/3x²-24/9x-3
(2)根据对称性可得还有一个交点D
此交点与C关于抛物线的对称轴对称
则抛物线对称轴为
x=4
则将C对称可得第四个交点D（8，-3）
（3）由（2）得抛物线与圆有4个交点，但没有顶点
故抛物线顶点不在圆上
其顶点坐标为（4，-25/3）
∵圆的圆心在（4,0）

故圆心与抛物线顶点都在x=4上
又∵r=5
故圆的上下顶点为（4,5）和（4，-5）
则将抛物线向上平移25/3-5=10/3个单位

或
向上平移5+25/3=40/3个单位
可以使顶点在圆上