Question

三角形ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，圆O过点B且分别与边AB,BC相交于点D、E,EF⊥AC于F

求证：(1)直线EF是圆O的切线; (2)当直线DF与圆O相切时，求圆O的半径

Answer 1

﹙1﹚证明：连结OE
∵ OB=OE ∠B=60°

∴ 三角形OBE是等边三角形 ∴∠OEB=60°

∵ EF⊥AC ∠C=60° ∴∠FEC=30°

∴ ∠OEF=180°-∠OEB- ∠FEC=90°

∴ OE⊥EF

﹙2﹚连结OF， 则在Rt⊿ODF和Rt⊿OEF中，∵OD=OE，OF=OF ∴ Rt⊿ODF≌Rt⊿OEF

∴ ∠DOF＝∠EOF=60°
设⊙O的半径为x，则 CE=2x
∴ BE+CE=x+2x=4 x=4/3

Answer 2

1）
∵三角形ABC是等边三角形
∴<B=60º
∵B，E都是圆O上的点
∴OB=OE
∴三角形BOE是等边三角形
∴<OEB=60º=<C
∴OE//AC
∵EF⊥AC
∴EF⊥OE
而OE是圆O的半径
∴EF是圆O的切线
2）若 DF是圆O的切线
则DF⊥AB
设圆O的半径为 R
∵AB=4
∴AD=4-2R
在直角三角形ADF中，<A=60º
∴AD=1/2AF
又在直角三角形CEF中
CE=4-R
<C=60º
∴CF=1/2CE=1/2(4-R)
那么 AF=4-CF=4-1/2（4-R)=2+R/2
∵AD=1/2AF
∴4-2R=1/2(2+R/2)
8-4R=2+R/2
12-8R=R
9R=12
∴R=4/3