Question

已知二次函数f(x)图像经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,且对x∈R都有

f(2-x)=f(2+x)
(1).求f(x)的解析式
（2）若函数g(x)=[f(x)-4]/(x+1),x属于（-4，-1）并（-1，0），求g(x)的取值范围

Answer 1

（1）
∵f(2-x)=f(2+x)
∴f(x)关于x=2对称
∵f(x)在x轴上截得的线段长为2，且f(x)与x轴的交点关于x=2对称
∴f(x)与x轴的交点是x1=1，x2=3
设f(x)=a(x-1)(x-3)
经过点(4,3)，即f(4)=3
代入得a(4-1)(4-3)=3
得a=1
∴f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3
（2）
g(x)=[f(x)-4]/(x+1)=g(x)=[x^2-4x+3-4]/(x+1)=(x^2-4x-1)/(x+1)
求导得g'(x)=[(2x-4)(x+1)-(x^2-4x-1)]/(x+1)^2=[x^2+2x-3]/(x+1)^2
令g'(x)=[x^2+2x-3]/(x+1)^2=0解得x=1或-3。其中x=-3在定义域内。
列表分析：
x (-4,-3) -3 (-3,-1) (-1,0)
g'(x) + 0 - -
g(x) 升 极大 降至-∞ 由+∞处开始降

g(-3)=(20)/(-2)=-10
g(0)=(-1)/(1)=-1

因此g(x)的取值范围为(-10,-∞)∪(+∞,-1)