Question

已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时，求函数f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间

（-∞，-1】上的最大值

Answer 1

令h(x)=f(x)+g(x)=x^3+ax^2+bx+1
求导得：h'(x)=3x^2+2ax+b
由a>0及a^2=4b知：
h'(x)=3x^2+2ax+b=h'(x)=3x^2+2ax+a^2/4=(3x+a/2)(x+a/2)
h'(x)=0得x=-a/2 ,x=-a/6
所以h(x)=f(x)+g(x)的单调增区间为(-∞,-a/2]∪[-a/6,+∞)，单调减区间为[-a/2,-a/6]

要求h(x)在(-∞，-1]最大值，就需要讨论a(a>0)：
1)-1≤-a/2，即0<a≤2时，h(x)在(-∞，-1]上单调递增，所以最大值为h(-1)=a-b=a-a^2/4
2)-a/2<-1<-a/6,，即2<a<6时，h(x)在(-∞,-a/2]上单调递增，在[-a/2,-1]上单调递减
所以最大值为h(-a/2)=-a^3/8+a^3/4-ab/2+1=1
3)-a/6≤-1，即a≥6时，h(x)在(-∞,-a/2]∪[-a/6,-1]上单调递增，在[-a/2,-a/6]上单调递减
所以最大值在x=-a/2和x=-1之间取得
h(-a/2)=1 h(-1)=a-a^2/4=-(a/2-1)^2+1<1
故最大值为h(-a/2)=1
综上所述： 0<a≤2时，最大值为a-a^2/4
a>2时，最大值为1

Answer 2

F(x)=f(x)+g(x)=ax^2+1+x^3+bx

F'(x)=3x^2+2ax+b=3x^2+2ax+a^2/4=1/4(12x^2+8ax+a^2)=1/4(2x+a)(6x+a)
F'(x)>0,时有x<-a/2,x>-a/6,即单调增区间是（-无穷，-a/2)U(-a/6,+无穷）
F'(x)<0时有-a/2<x<-a/6,即单调减区间是(-a/2,-a/6)

Answer 3

单调增区间 （-∞，-a/2),(-a/6，+∞）
当0＜a≤2时 最大值为F（-1）
当2＜a≤6时 最大值F (-a/2)
当6≤a时 最大值为F（-1）与F（-a/2)中大的那个