Question

已知函数f(x)=x/a-(1/x)(a为实常数)

1)解关于x的不等式f(x)>0
2）当a=2时，求函数在[1,2]上的值域
3）已知a＜0，且总存在x∈[1,2]上使f（x）≥-3，求实数a的取值范围

Answer 1

f（x）（x/a）+（-1/x）＞0
当a＜0时，若x＜0，则x/a＞0，-1/x＞0，f（x）＞0成立x＞0是显然f（x）＜0
于是a＜0时x＜0
若a＞0，（x²-a）/x²＞0，得x＞√a或x＜-√a
（2）f（x）=（x/2）-（1/x），f'（x）=（1/2）+（1/x²）＞0
于是f（x）在（0，正无穷）上单调增，f（x）在[1，2]上最小值为f（1）=-1/2，最大值为f（2）=1/2
（3）（x/a）-（1/x）≥-3，在x∈[1，2]上恒成立
即（1/a）-（1/x²）≥-3/x在x∈[1，2]上恒成立【分离变量法】
1/a≥（1/x）²-3（1/x）
令t=1/x，则t∈[1/2，1]
1/a≥t²-3t在t∈[1/2，1]上恒成立，令g（t）=t²-3t，则g（t）在t∈[1/2，1]上最大值为g（1/2）=-1/2
于是1/a≥-1/2
得a≤-2