Question

已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）

设f(x)在区间【1，2】上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式

Answer 1

答：
1）
a=0，f(x)=x²-1
y=|f(x)|=|x²-1|
-1<=x<=1，y=1-x²，单调递增区间为[-1,0]
x<=-1或者x>=1，y=x²-1，单调递增区间为[1,+∞)
2)
f(x)=x²-ax+2a-1
=(x-a/2)²-a²/4+2a-1
对称轴x=a/2<=1即a<=2时，x=1处取得最小值g(a)=1-a+2a-1=a
对称轴1<x=a/2<2即2<a<4时，x=a/2处取得最小值g(a)=-a²/4+2a-1
对称轴x=a/2>=2即a>=4时，x=2处取得最小值g(a)=4-2a+2a-1=3
综上所述：
a<=2，g(a)=a
1<a<4，g(a)=-a²/4+2a-1
a>=4，g(a)=3
3）
h(x)在区间[1,2]上是增函数
h(x)=f(x)/x=x-a+(2a-1)/x
求导：h'(x)=1-(2a-1)/x²>=0在区间[1,2]上恒成立
所以：(2a-1)/x²<=1
所以：2a-1<=x²
所以：2a-1<=1
解得：a<=1