Question

如图，已知边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连接AE、DE，BD、AE交BD于F，连接CF交DE于G，P为DE的中点

如图，已知边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，连接AE、DE，BD、AE交BD于F，连接CF交DE于G，P为DE的中点，连接AP、FP，下列结论：①DE⊥CF；②S四边形CDFE＝203；③∠EAP=30°；④△FGP为等腰直角三角形．其中正确结论的个数有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

作FM⊥BC，
∵∠ABF=∠FBC=45°，
AB=BC，BF=BF，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴AB=CD，BE=CE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE≌△DCE，
∴∠BAE=∠EDC，
∴∠FCB=∠EDC，
∵∠DEC+∠EDC=90°，
∴∠DEC+∠BCF=90°
∴∠EGC=90°，
∴DE⊥CF，故①DE⊥CF正确；
∵△CFM∽△PEQ，
∴

FM

EQ

＝

MC

PQ

，
∵MC=4-BM，BM=FM，PQ=2，EQ=1，
∴FM=

4

3

，
∴S_△BCD-S_△BFE=8-

1

2

×2×

4

3

=

20

3

；故②S四边形CDFE＝

20

3

正确；
∵S四边形CDFE＝

20

3

，
∴

1

2

CF×DE=

1

2

×2

5

×CF=

20

3

，
∴CF=

4 5

3

，
∵∠EGC=∠ECD=90°，∠GEC=∠GEC，
∴△CEG∽△DEC，
∴

EC

DE

＝

EG

EC

＝

CG

CD

，
∵边长为4的正方形ABCD，E为BC的中点，
∴EC=2，DE=2

5

，
∴

2

2 5

=

CG

4

=

EG

2

，
∴EG=

2 5

5

，CG=

4 5

5

，
∴FG=

8 5

15

，PG=

5

-

2 5

5

=

3 5

5

，
∴FG≠PG，
∴根据已知可得∠FPG≠∠PFG，
∴④△FGP为等腰直角三角形错误．
∵P为DE的中点，
∴PE=DP=

5

，
∴BE=EC=2，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∴△AED为等腰三角形不是等边三角形，
∵P为DE的中点，
∴AP不垂直于DE，
∵

PE

AE

=

1

2

，
∴∠EAP≠30°，故③不正确；
其中正确结论的个数有2个，
故选：B．