根据函数单调性的定义，证明函数f （x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数
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证明：证法一：在（-∞，+∞）上任取x1，x2且x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∵x1，x2不同时为零，
∴x12+x22＞0．
又∵x12+x22＞
（x12+x22）≥|x1x2|≥-x1x2
∴x12+x1x2+x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）．
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
当x1x2＜0时，有x12+x1x2+x22=（x1+x2）2-x1x2＞0；
当x1x2≥0时，有x12+x1x2+x22＞0；
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
证法二：在（-∞，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x2）-f（x1）=x13-x23=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）．
∵x1＜x2，
∴x1-x2＜0．
∵x1，x2不同时为零，
∴x12+x22＞0．
又∵x12+x22＞
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∴x12+x1x2+x22＞0，
∴f（x2）-f（x1）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22）＜0．
即f（x2）＜f（x1）．
所以，函数f（x）=-x3+1在（-∞，+∞）上是减函数．
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