Question

（2009?绵阳）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点．（1）判断△ABC的形状

（2009?绵阳）如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC=∠BPC=60°，AB与PC交于Q点．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）求证：APPB＝AQQB；（3）若∠ABP=15°，△ABC的面积为43，求PC的长．

Answer 1

解答：（1）解：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形；

（2）证明：如图，过B作BD∥PA交PC于D，则∠BDP=∠APC=60°，
又∵∠AQP=∠BQD，
∴△AQP∽△BQD，
∴

AQ

QB

＝

AP

BD

，
∵∠BPD=∠BDP=60°，
∴PB=BD，
∴

AQ

QB

＝

AP

PB

；

（3）解：设正△ABC的高为h，则h=BC?sin60°．
∵

1

2

BC?h=4

3

，
即

1

2

BC?BC?sin60°=4

3

，
解得BC=4，
连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E，
由△ABC是正三角形知∠BOC=120°，从而得∠OCE=30°，
∴OC＝

CE

cos30°

＝

4

3

，
由∠ABP=15°得∠PBC=∠ABC+∠ABP=75°，
于是∠POC=2∠PBC=150°，
∴∠PCO=（180°-150°）÷2=15°，
如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM=15°，则∠RNG=30°，
作GH⊥RN，垂足为H．
设GH=1，则cos∠GNM=cos15°=

MN

2

．
在Rt△GHN中，
NH=GN?cos30°，GH=GN?sin30°，
∴RH=GH，MN=RN?sin45°，
∴cos15°=

2 + 6

4

．
在图中，作OF⊥PC于F，
∴PC=2CF=2OC?cos15°=2

2

+

2 6

3

．