Question

（2014?泸州二模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=π3，点E是AD的中点，点Q是PC

（2014?泸州二模）已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AB=PA=PD=2，∠ABD=π3，点E是AD的中点，点Q是PC的中点．（Ⅰ）求证：EQ∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥B-PAD的体积．

Answer 1

（I）证明：取PB中点G，连接AG，QG，构成四边形AGQE．
∵菱形ABCD中，AD=AB=2，而AB=PA=PD=2．
∴PB=PC（三角形中不等式性质传递性），
∴在△PBC中，GQ∥BC，GQ=

1

2

BC．
而BC∥AE，∴四边形QGAE为平行四边形．
∴EQ∥AQ
而AQ?平面PAB，∴EQ∥平面PAB．
（II）解：由（I）得，△ADP为正三角形，∴PE⊥底面ABCD．
而∠ABD＝

π

3

，∴在△ABD中BE⊥AD，∴BE⊥平面APD，
∴V_P-BAD=

1

3

S△APD?EB=

1

3

?

3

4

?4?

22?12

=1．