Question

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=23，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=13AB，将圆沿直径AB折起，使

如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=23，AC=BC，F 是AB上一点，且AF=13AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE=2．（1）求证：AD⊥平面BCE；（2）求证：AD∥平面CEF；（3）求三棱锥A-CFD的体积．

Answer 1

解答：（1）证明：依题AD⊥BD，
∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，
∵BD∩CE=E，
∴AD⊥平面BCE．
（2）证明：Rt△BCE中，CE=

2

，BC=

6

，∴BE=2，
Rt△ABD中，AB=2

3

，AD=

3

，∴BD=3．
∴

BF

BA

＝

BE

BD

＝

2

3

．
∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，
∴AD∥平面CEF．
（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，
且ED=BD-BE=1，
∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．
∴S_△FAD=

1

2

×

3

×1=

3

2

．
∵CE⊥平面ABD，
∴V_A-CFD=V_C-AFD=

1

3

S△FAD?CE=

1

3

×

3

2

×

2

=

6

6

．