Question

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别

如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合。（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长。

Answer 1

解：（1）∵△BDC′由△BDC翻折而成， ∴∠C=∠BAG=90°，C′D=AB=CD，∠AGB=∠DGC′， ∴∠ABG=∠ADE， 在△ABG和△C′DG中， ∵ ， ∴△ABG≌△C′DG； （2）∵由（1）可知△ABG≌△C′DG， ∴GD=GB， ∴AG+GB=AD， 设AG=x，则GB=8﹣x， 在Rt△ABG中， ∵AB 2 +AG 2 =BG 2 ，即6 2 +x 2 =（8﹣x） 2 ， 解得x= ， ∴tan∠ABG= = = ； （3）∵△AEF是△DEF翻折而成， ∴EF垂直平分AD， ∴HD= AD=4， ∴tan∠ABG=tan∠ADE= ， ∴EH=HD× =4× = ， ∵EF垂直平分AD，AB⊥AD， ∴HF是△ABD的中位线， ∴HF= AB= ×6=3， ∴EF=EH+HF= +3= 。