Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）m

已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）．（1）若x∈[2，6]时，f（x）max=f（2）=2，f（x）min=f（6）=-2且f（x）在[2，6]上单调减，求ω，φ的值；（2）若φ=0，f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，求ω的取值范围；（3）若φ=0，f（x）在[π6，π4]上单调递增，求ω的取值范围．

Answer 1

（1）由题意，T=2（6-2）=8=

2π

ω

，∴ω=

π

4

．
f（x）=2sin（

π

4

x+φ），把（2，2）代入得2＝2sin(

π

2

+φ)，
∴cosφ=1．
∵|φ|＜

π

2

，∴φ=0；
（2）φ=0时，f（x）=2sinωx，
∵f（x）为奇函数，要使f（x）=0在[-π，π]上恰有19个根，只需f（x）=0在（0，π]上恰有9个根，
∴

9

2

T≤π＜5T，即

9

2

?

2π

ω

≤π＜5?

2π

ω

，
∴9≤ω＜10；
（3）由于

π

4

?

π

6

≤

T

2

，
∴0＜ω≤12，
又?

π

2

+2kπ≤

π

6

ω，

π

4

ω≤

π

2

+2kπ，k∈Z．
∴12k-3≤ω≤8k+2，k∈Z．
∴ω的取值范围是（0，2]∪[9，10]．