Question

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|?|OM|=4，

在极坐标系Ox中，直线C1的极坐标方程为ρsinθ=2，M是C1上任意一点，点P在射线OM上，且满足|OP|?|OM|=4，记点P的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C2上的点到直线ρcos（θ+π4）=2距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）设P（ρ₁，θ），M（ρ₂，θ），
由|OP|?|OM|=4，得ρ₁ρ₂=4，即ρ2＝

4

ρ1

．
∵M是C₁上任意一点，∴ρ₂sinθ=2，即

4

ρ1

sinθ＝2，ρ₁=2sinθ．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sinθ；
（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0．
化为标准方程x²+（y-1）²=1．
则圆心坐标为（0，1），半径为1．
由直线ρcos（θ+

π

4

）=

2

，得：ρcosθcos

π

4

?ρsinθsin

π

4

＝

2

．
即：x-y=2．
圆心（0，1）到直线x-y=2的距离为d=

|0×1+1×(?1)?2|

2

＝

3 2

2

．
∴曲线C₂上的点到直线ρcos（θ+

π

4

）=

2

距离的最大值为1+

3 2

2

．