Question

请问sinX＜X＜tanX怎么推的?

是与x轴围成的面积吗?

Answer 1

注意，你的命题应该是对于任意的X∈R，有|sinX|≤|X|
对于任意的x∈(-π/2，π/2)时，有|X|≤|tanX|
等号在X=0时成立。
所以在x∈(-π/2，π/2)时，有|sinX|≤|X|≤|tanX|
做法可以如下：
当x>0时，画一个单位圆，取圆心角为X，即弧度为X（从圆心引出一条射线交圆O于A，并延长交圆的竖直切线OM于B，M是水平直径圆周上的点，过A点引OM的垂线交OM于C点），则在图中
sinX表示AC长
X表示圆弧长，即圆心角X所对的圆弧的长度，
tanX表示BM长
显然有sinX<X<tanX
当x<0时，利用-x>0代入上式，因为sinX ,tanX均为奇函数，即sin(-X)=-sinX, tan(-X)=-tanX，所以可以证明-sinX<-X<-tanX
从而可以证明x∈(-π/2，π/2)时，有|sinX|≤|X|≤|tanX|

Answer 2

sinX＜X＜tanX

在单位圆中，利用面积法
有
1/2×sinx×1<1/2×X<1/2×tanx×1
即
sinX＜X＜tanX