△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，设平面向量m=(2cosC,c/2 -b）n 10
△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，设平面向量m=(2cosC,c/2-b）n=(a/2,1)，且m垂直于n①求cos2A的值②若a=2则△ABC的周长...
△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c，设平面向量m=(2cosC,c/2 -b）n=(a/2,1)，且m垂直于n ①求cos2A的值 ②若a=2则△ABC的周长L的取值范围
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解：∵向量m⊥向量n, ∴2cosC*(a/2)+(c/2-b)*1=0.
acosC+c/2-b=0.由正弦定理得:
sinAcosC+(1/2)sinC-sinB=0.
sinAcosC-sin(A+C)=-(1/2)sinC.
sinAcosC-(sinAcosC+cosAsinC=-1/2)sinC.
-cosAsinC=-(1/2)sinC
cosA=1/2.
∴A=60°♂
(1)cos2A=2cos^2A-1.
=2(1/2)^2-1.
∴cos2A=-1/2.
(2) 由正弦定理得：b/sinB=a/sinA=2/sin60=2/√3/2=4√3/3. b=(4√3/3)sinB
c/sinC=a/sinA==(...), c=4√3/3)sinC.
L=a+b+c=2+2*(4√3/3((sinB+sinC).
=2+8(√3/3)*[2sin(B+C)/2cos(B-C)/2].
=2+16(√3/3)cosA/2*COS(B-C)/2.
=2+8cos(B-C)/2.
∴6＜L＜10 ( 0≤B-C＜120°)
acosC+c/2-b=0.由正弦定理得:
sinAcosC+(1/2)sinC-sinB=0.
sinAcosC-sin(A+C)=-(1/2)sinC.
sinAcosC-(sinAcosC+cosAsinC=-1/2)sinC.
-cosAsinC=-(1/2)sinC
cosA=1/2.
∴A=60°♂
(1)cos2A=2cos^2A-1.
=2(1/2)^2-1.
∴cos2A=-1/2.
(2) 由正弦定理得：b/sinB=a/sinA=2/sin60=2/√3/2=4√3/3. b=(4√3/3)sinB
c/sinC=a/sinA==(...), c=4√3/3)sinC.
L=a+b+c=2+2*(4√3/3((sinB+sinC).
=2+8(√3/3)*[2sin(B+C)/2cos(B-C)/2].
=2+16(√3/3)cosA/2*COS(B-C)/2.
=2+8cos(B-C)/2.
∴6＜L＜10 ( 0≤B-C＜120°)
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