Question

如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作 APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠

如图(1),在△ABC中,AB=BC,P为AB边上一点,连接CP,以PA、PC为邻边作 APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC=∠AEP= (0°< <90°).(1)求证: ∠EAP=∠EPA;(2) APCD是否为矩形?请说明理由;(3)如图(2),F为BC中点,连接FP,将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度,得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点).猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论.

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Answer 1

证明：(1)在△ABC和△AEP中,  ∠ABC=∠AEP,∠BAC=∠EAP, ∠ACB=∠APE, 在△ABC中,AB=BC. ∠ACB=∠BAC, ∠EPA=∠EAP, (2) APCD是矩形.   四边形APCD是平行四边形,   AC=2EA,PD=2EP. 由(1)知, ∠EPA=∠EAP. EA=EP，进而AC=PD   APCD是矩形. (3)EM=EN  EA=EP,  ∠EPA=90° - ∠EAM=180°-∠EAP =180°-∠EPA= 180°-(90°- )=90°+ 由(2)知, ∠CPB=90°,F是BC的中点,  FP=FB,  ∠FPB=∠ABC= ，  ∠EPN=∠EPA+∠APN=∠EPA+∠FPB=90° - + =90°+  ∠EAM=∠EPN ∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN，  ∠AEP-∠AEN =∠MEN-∠AEN,即∠MEA=∠NEP.  △EAM≌△EPN,  EM=EN.

（1）根据AB=BC可证∠CAB=∠ACB，则在△ABC与△AEP中，有两个角对应相等，根据三角形内角和定理，即可证得； （2）由（1）知∠EPA=∠EAP，则AC=DP，根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求证； （3）可以证明△EAM≌△EPN，从而得到EM=EN．