Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1-an+1=0，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn+bn=2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，

已知数列{an}满足a1=1，an+1-an+1=0，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn+bn=2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn（n∈N*），求数列{cn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可知数列{a_n}为首项为1，公差为1的等差数列
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=n…（2分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2
∴2b_n+1-b_n=0
即

bn+1

bn

＝

1

2

…（4分）
∴数列{b_n}为等比数列
又S₁+b₁=2，∴b₁=1…（5分）
∴数列{b_n}的通项公式为bn＝

1

2n?1

…（6分）
（Ⅱ）由已知得cn＝n?

1

2n?1

，…（7分）
∴Tn＝1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n?1

…（8分）

1

2

Tn＝

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n?1

2n?1

+

n

2n

…（9分）
两式相减得

1

2

Tn＝1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n?1

?

n

2n

…（10分）
=

1? 1 2n

1? 1 2

?

n

2n

＝2(1?

1

2n

)?

n

2n

…（12分）
∴数列{c_n}的前n项和为：
Tn＝4?

1

2n?2

?

n

2n?1

＝4?

n+2

2n?1

…（13分）