Question

如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB 并延长交⊙O于点E，连接AE.

如图1，在⊙O中，点C为劣弧AB的中点，连接AC并延长至D，使CA=CD，连接DB 并延长交⊙O于点E，连接AE. 图1 图2 （1）求证：AE是⊙O的直径；（2）如图2，连接CE，⊙O的半径为5，AC长为4，求阴影部分面积之和。（保留 与根号）

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

Answer 1

解：（1）如图1，连接AB、BC， ∵点C是劣弧AB上的中点 ∴ ∴CA=CB 又∵CD=CA ∴CB=CD=CA ∴在△ABD中，CB= AD ∴∠ABD=90° ∴∠ABE=90° ∴AE是⊙O的直径；
（2）如图2，由（1）可知，AE是⊙O的直径， ∴∠ACE=90°， ∵⊙O的半径为5，AC=4， ∴AE=10， ⊙O的面积为25π， 在Rt△ACE中，∠ACE=90°， 由勾股定理，得：CE= ， ∴ ， ∴ 。