Question

已知函数f（x）=1+㏑xx．（1）若函数在区间（t，t+12）（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；（2

已知函数f（x）=1+㏑xx．（1）若函数在区间（t，t+12）（其中t＞0）上存在极值，求实数t的取值范围；（2）如果当x≥1时，不等式f（x）≥ax+1恒成立，求实数a的取值范围．（3）证明：[（n+1）!]2＞（n+1）?en-2（n∈N+）．

Answer 1

解（1）∵f′（x）=-

lnx

x2

，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，
令f′′（x）＜0，解得：x＞1，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，
∴函数f（x）在x=1处取到极大值，
∵函数f（x）在区间（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在极值，
∴

t＜1 t+ 1 2 ＞1

，解得：

1

2

＜t＜1；
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

，即为

(x+1)(1+lnx)

x

≥a，
记g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，
∴g′（x）=

x?lnx

x2

，
令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上递增，
∴g（x）_min=g（1）=2，
∴a≤2．
（3）由所述知f（x）≥

2

x+1

恒成立，即lnx≥

x?1

x+1

=1-

2

x+1

＞1-

2

x

，
令x=n（n+1），则ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln（1×2）＞1-

2

1×2

，ln（2×3）＞1-

2

2×3

，ln（3×4）＞1-

2

3×4

，…，
ln[n（n+1）]＞1-

2

n(n+1)

，
∴ln[1×2²×3²×…×n²（n+1）]＞n-2[

1

推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-12-01 设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且 2 2010-10-18 若定义在区间（－1,0）上的函数f（x）＝log2a（x＋1）满足f（x）＞0，则实数的取值范围是??? 8 2012-12-16 已知函数f(x)=lnx/(x+1)在区间[t ,+∞)(t∈Z)上存在极值，求t的最大值？ 6 2012-02-06 已知函数f[x]=-x3+x2+tx+t在区间【-1,1】上是增函数，求t的取值范围 10 2014-09-07 如果函数f（x）=（x-1）²+1定义在区间【t,t+1】上，求f（x）的最小值 3 2013-09-17 已知函数f（x）=1+lnx/x 若函数在区间（t，t+½）（其中t>0）上存在极值，求实数t的取值范围 2012-06-05 若函数f（x）=a╱x－2lnx＋x╱2在区间（1，4）上内有极值，则实数a的取值范围 1 2019-07-29 若函数f（x）=a╱x－2lnx＋x╱2在区间（1,4）上内有极值,则实数a的取值范围 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式