Question

在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设数列{

在等比数列{an}中，已知a1=2，且a2，a1+a3，a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）设数列{an2-an}的前n项和为Sn，记bn=2nSn，求数列{bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，由已知得：2（a₁+a₃）=a₂+a₄，
即2（a₁+a₁q²）=a₁q+a₁q³，解得q=2，
又∵a₁=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
S_n=（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁+a₂+…+a_n）
=（4+4²+4³+…+4ⁿ）-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=

4(1?4n)

1?4

-

2(1?2n)

1?2

=

4

3

（4ⁿ-1）-2（2ⁿ-1）=（2ⁿ-1）（

4

3

?2ⁿ-

2

3

）=

2

3

（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹-1），
又b_n=

2n

Sn

，
∴b_n=

3

2

?

2n

(2n?1)(2n+1?1)

=

3

2

（

1

2n?1

?

1

2n+1?1

），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n-1+b_n
=

3

2

[（

1

21?1

?

1

22?1

）+（

1

22?1

?

1

23?1

）+（

1

23?1

?

1

24?1

）+…+（

1

2n?1?1

?

1

2n?1

）
+（

1

2n?1

?

1

2n+1?1

）]
=

3

2

（1-

1

2n+1?1

）=

3

2

-

3

2n+2?2

．