Question

一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径略

一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A球的质量为m1，B球的质量为m2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0．设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，重力加速度用g表示．（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？（3）若m1=m2=m，试证明此时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下．

Answer 1

设B球经过最高点时速度为v，
（1）B球恰好对轨道无压力，则到达最高达的速度为v=

gR

，
由最高点运动到最低点时速度为V₀，此过程中机械能守恒定律，得：

1

2

m2

v

2 0

＝

1

2

m2v2+m2g2R
得

v

2 0

＝5gR
（2）在最低点和最高点，根据向心力公式得：
FA?m1g＝m1

v 2 0

R

，FB+m2g＝m2

v2

R

，
而F_A=F_B
由最高点运动到最低点过程中机械能守恒定律，得：

1

2

m2

v

2 0

＝

1

2

m2v2+m2g2R
联立各式得：
(m1?m2)

v 2 0

R

+(m1+5m2)g＝0
（3）取竖直向上为F_B的正方向，根据牛顿第二定律FA?mg＝m

v 2 0

R

，mg?FB＝m

v2

R

又

1

2

m

v

2 0

＝

1

2

mv2+mg2R
两球受圆管的合力F_合=F_A+F_B，方向竖直向上，联立以上各式得F_合=6mg，方向竖直向上．
根据牛顿第三定律，A、B两小球对轨道作用力的合力大小为6mg，方向竖直向下．
答：（1）若此时B球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足

v

2 0

＝5gR；
（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足(m1?m2)

v 2 0

R

+(m1+5m2)g＝0；
（3）当m₁=m₂=m时A、B两小球作用于圆管的合力大小为6mg，方向竖直向下，证明如上．