Question

如图，ABCD为正方形，△BOC是等腰三角形，∠OBC=15°，求证△AOD为正三角形

如图，ABCD为正方形，△BOC是等腰三角形，∠OBC=15°，求证△AOD为正三角形

Answer 1

过O点作PE⊥BC交BC于E,交AD于P,在CE上取一点F连接OF使∠OFE=30°,
设正方形的边长为a,
则CE=(1/2)a ，设OE=b
∵∠OBC=15°, ∠OFE=30° ∴∠COF=15°
∴OF=CF=2b EF=(√3)b
∵CF+EF=CE=(1/2)a
∴2b+(√3)b=(1/2)a
b=a/(4+2√3)
PO=a-b=a-a/(4+2√3)=(√3)a/2
DP=(1/2)a
tan∠ADO=PO/DP=[(√3)a/2]/(1/2)a=√3
∴∠ADO=60° ,同理∠OAD=60°
所以△BOC是等边三角形

Answer 2

过O作BC中垂线交BC于E 通过sin∠OBC/sin∠COB=OC/CB 得到OC长 再通过SIN∠ODC/SIN∠DOC=OC/DC 得到SIN∠ODC 得到∠ODC=30度 所以是等边三角形