Question

如何运用向量方法求直线方程

如题

Answer 1

楼主问的问题应该是直线的向量表示方法，直线方程可以借助于向量思想重新整理。首先要清楚，这个和传统解析几何的点斜式、两点式以及一般式之类的是等价的，并没有增加任何新内容，只不过是同一个问题从不同角度看，有时候会很方便。说三个我们高中曾经讲过的吧。
①点向式，意思是知道直线过一个定点(x0,y0)，而且知道直线的方向向量(a,b)，写出直线方程。
那么直线上任意一点和定点连的向量是(x-x0,y-y0)，它应该和方向向量平行，也就是分量成比例
(x-x0)/a=(y-y0)/b考虑到a、b可能为0的情形（当然不会同时为0这是肯定的），最终可以写成
b(x-x0)=a(y-y0)这就是直线的点向式方程。
注：公式逆用，如果你看到题目给的直线表达式是bx-ay+…=0，那么就能看出它的方向向量是(a,b)，也就是对于Ax+By+C=0，它的方向向量可以是(-B,A)。

②点法式，意思是知道直线过一个点(x0,y0)，并且知道直线的法向量（也就是和直线垂直的向量）(m,n)，那么就能写出直线方程。具体是每一点和定点的连接形成向量(x-x0,y-y0)，法向量和它都要垂直，就是点乘为0：m(x-x0)+n(y-y0)=0这就是直线的点法式方程。
注：公式逆用，如果你看到题目给的是Ax+By+C=0，那么它的法向量可以是(A,B)。

③法式（这个不常用，但是几何意义明显）。这个是已知直线的法向量(m,n)，那我们就总可以把它化为单位法向量（长度是1的），写成(cosα，sinα)。然后和上面两种情况不同，我们不知道直线过哪个定点（没有x0、y0），只知道直线和原点的距离是d，那么也可以写出直线方程。原点和直线上任何点的连线向量是(x,y)，它到法向量(cosα，sinα)的投影长度就是距离d（适当选取法向量，使得它和(x,y)点乘为正数），投影长度就是它们点乘再除以法向量长度（就是1）。那么
d=(x,y)·(cosα，sinα)=xcosα+ysinα，xcosα+ysinα-d=0就是直线的法式方程。这个几何意义很明显，d代表直线和原点的距离，α角就是直线和坐标轴的夹角。由于有很强的几何意义，这个式子在某些特殊的问题中很有用。

楼主如果有什么具体问题可以拿来问，还有上面不保证有笔误什么的，也请大家帮我检查一下。

Answer 2

1）如果已知直线的方向向量（与直线平行的向量）v=(v1，v2) ，又已知直线过定点M(x0，y0) ，
那么直线的方程为 (x-x0)/v1=(y-y0)/v2 。
2）如果已知直线的法向量（与直线垂直的向量）n=(A，B) ，又已知直线过定点M(x0，y0)，
那么直线的方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0 。