Question

命题p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足 |x-1|≤2

命题p：实数x满足x 2 -4ax+3a 2 ＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足 |x-1|≤2 x+3 x-2 ≥0. （Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由x 2 -4ax+3a 2 ＜0得（x-3a）（x-a）＜0， 又a＞0，所以a＜x＜3a， 当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．（2分） 由 |x-1|≤2 x+3 x-2 ≥0 得 -1≤x≤3 x≤-3或x＞2 解得2＜x≤3， 即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．（4分） 若p∧q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是（2，3）．（6分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a， 则?p：x≤a或x≥3a，（8分） q：2＜x≤3，则?q：x≤2或x＞3，（10分） ?p是?q的充分不必要条件，则?p??q，且?q??p， ∴ 0＜a≤2 3a＞3 解得1＜a≤2， 故实数a的取值范围是（1，2]．（12分）