Question

（2014?金华模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分别是AC，BC的中点，AB=23，AC=2，PD=

（2014?金华模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC，D，E分别是AC，BC的中点，AB=23，AC=2，PD=22，Q为线段PE上不同于端点的一动点．（Ⅰ）求证：AC⊥DQ；（Ⅱ）若二面角B-AQ-E的大小为60°，求QEPE的值．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵PA=PB=PC，
∴P在底面ABC的射影是△ABC的外心E，
∴PE⊥面ABC，
又AC?面ABC，从而PE⊥AC． …（3分）
又∵PA=PC，且D 是AC的中点，
∴PD⊥AC，
∵PE∩PD=P，
∴AC⊥面PDE．
又DQ?面PDE，∴AC⊥DQ．…（6分）
（Ⅱ）解：过点B作BF⊥AE于F，则BF⊥面PAE，
过F作FG⊥AQ于点G，连接BG，则∠BGF即为二面角B-AQ-E的平面角．…（8分）
在Rt△ABF中，由AB=2

3

，∠BAF=30°得AF=3，BF=

3

．
在Rt△BGF中，由BF=

3

，∠BGF=60°，∴GF=1．
在△AQF中，设QE=h，则AQ=

4+h2

，
由S△AQF＝

1

2

AQ?GF＝

1

2

AF?QE得

4+h2

=3h，从而h=

2

2

，…（12分）
又在Rt△PED中，PD=2

2

，DE=

3

，∴PE=

5

，从而

QE

PE

=

10

10

．…（14分）