Question

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2

如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=2，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且2PF=FA．

1、求证BE⊥面PAC
2、求证CM∥面BEF
3、求平面ABC与面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值
4、求直线AF与面BEF所成角的正弦值

Answer 1

PB⊥底面ABC，
∴平面PBC⊥平面ABC于BC,
∠BCA=90°,
∴AC⊥平面PBC,
∴平面PAC⊥平面PBC于PC,
PB=BC,E为PC的中点,
∴BE⊥AC,
∴BE⊥平面PAC.
2.BC=CA，M为AB的中点，
∴CM⊥AB,
连PM交BF于G,连EG.
易知AB=2√2，BM=√2，PM=√6，PA=2√3，PF=2√3/3，tanAPB=AB/BC=√2，cosAPB=1/√3，
由余弦定理，BF^2=4/3+4-8/3=8/3，BF=2√6/3，cosPBF=(4+8/3-8√2/3)/(8√6/3)=？
tanBPM=√2/2，cosBPM=√6/3,
sinBPM=1/√3,sinBGP=sin(∠PBF+∠BPM)=待续
由正弦定理，PG=PBsinPBF/sinBGP=(2/3)/(√6/3)=√6/3=

追问

能否用坐标法来算这道题？老师要求的。

追答

我已用坐标法来算好这道题，但是系统出了问题。请您再次追问.

1.以BC,BP为x,z轴建立空间直角坐标系，
则B(0，0，0),C(2，0，0),P(0，0，2),A(2，2，0),E(1，0,1),M(1，1，0).PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC,向量BE*AC=(1，0，1)*(0，-2，0)=0，∴BE⊥AC,∴BE⊥平面PAC.
2.点F在PA上，且2PF=FA,∴向量BF=(2/3)BP+(1/3)BA=(2/3)(0，0，2)+(1/3)(2，2，0)=(2/3，2/3，4/3).设平面BEF的法向量为n1=(x,y,1),由向量n1*BF=0得x+y+2=0,由向量n1*BE=0得x+1=0,解得x=y=-1,n1=(-1,-1,1),向量CM=(-1，1，0),∴向量CM*n1=0，CM不在平面BEF内，∴CM∥平面BEF.
3.平面ABC的法向量n2=(0,0,1),∴平面ABC与面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值=|cos|=1/√3=√3/3.4、向量AF=BF-BA=(2/3，2/3，4/3)-(2，2，0)=(-4/3，-4/3，4/3),∴直线AF与面BEF所成角的正弦值=cos=(4/3)/4=1/3.

追问

第4个问呢？

追答

数据传丢了，补上：4、向量AF=BF-BA=(2/3，2/3，4/3)-(2，2，0)=(-4/3，-4/3，4/3),∴直线AF与面BEF所成角的正弦值=cos=(4/3)/4=1/3.

Answer 2

1.以BC,BP为x,z轴建立空间直角坐标系，则B(0，0，0),C(2，0，0),P(0，0，2),A(2，2，0),E(1，0,1),M(1，1，0).PB=BC,E为PC的中点,∴BE⊥PC,向量BE*AC=(1，0，1)*(0，-2，0)=0，∴BE⊥AC,∴BE⊥平面PAC.2.点F在PA上，且2PF=FA,∴向量BF=(2/3)BP+(1/3)BA=(2/3)(0，0，2)+(1/3)(2，2，0)=(2/3，2/3，4/3).设平面BEF的法向量为n1=(x,y,1),由向量n1*BF=0得x+y+2=0,由向量n1*BE=0得x+1=0,解得x=y=-1,n1=(-1,-1,1),向量CM=(-1，1，0),∴向量CM*n1=0，CM不在平面BEF内，∴CM∥平面BEF.3.平面ABC的法向量n2=(0,0,1),∴平面ABC与面BEF所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值=|cos<n1,n2>|=1/√3=√3/3.4、向量AF=BF-BA=(2/3，2/3，4/3)-(2，2，0)=(-4/3，-4/3，4/3),∴直线AF与面BEF所成角的正弦值=cos<n1,AF>=(4/3)/4=1/3.