Question

已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2

已知：如图，点P是平行四边形ABCD的边DC上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．（1）求证：AP⊥PB；（2）如果AD=5，AP=8，求△APB的面积．

Answer 1

解答：（1）证明：∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＝

1

2

∠DAB，∠PBA＝

1

2

∠CBA．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠PAB+∠PBA=90°．
∴∠APB=180°-90°=90°．从而AP⊥PB．

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5．
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠PAD=∠DPA．
∴DP=AD=5．
同理PC=BC=5．
∴AB=DC=DP+PC=10．
∴在Rt△APB中，应用勾股定理得：BP＝

AB2?AP2

＝

102?82

＝6．
∴△APB的面积是

1

2

AP?BP＝

1

2

×8×6＝24．