已知函数f(x)=ln(1+x)+a/2x²-x(a≥0)
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f'(x)=1/(1+x)+ax-1=-x/(1+x)+ax=x[a-1/(1+x)]
x>0,
a=0时， f'(x)=-x/(1+x)<0, 故函数单调减，f(1)=ln2-1<0, 不符题意；
0<a<1时， 由f'(x)=0, 得极小值点x=1/a-1>0，f(1/a-1)=-lna+a/2(1/a-1)²-(1/a-1)=-lna-1/(2a)+a/2=g(a)
而g'(a)=-1/a+1/(2a²)+1/2=(a²-2a+1)/(2a²)=(a-1)²/(2a²)>=0
即g(a)单调增，g(1)=0, 因此在0<a<1, 有g(a)<0, 不符题意；
a>=1时， 在f'(x)>=0, 函数单调增，最小值为f(0)=0, 符合题意；
综合得：a>=1
x>0,
a=0时， f'(x)=-x/(1+x)<0, 故函数单调减，f(1)=ln2-1<0, 不符题意；
0<a<1时， 由f'(x)=0, 得极小值点x=1/a-1>0，f(1/a-1)=-lna+a/2(1/a-1)²-(1/a-1)=-lna-1/(2a)+a/2=g(a)
而g'(a)=-1/a+1/(2a²)+1/2=(a²-2a+1)/(2a²)=(a-1)²/(2a²)>=0
即g(a)单调增，g(1)=0, 因此在0<a<1, 有g(a)<0, 不符题意；
a>=1时， 在f'(x)>=0, 函数单调增，最小值为f(0)=0, 符合题意；
综合得：a>=1
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2024-10-13 广告
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